Математика 24
Информационно-аналитический портал для студентов
Не решается своя задача?
Заказать решение

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Работает техника для неопределенных и определенных интегралов.

Формула для неопределенного интеграла:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Формула для определенного интеграла:

$$ \int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu $$

Обратите внимание ещё раз на то, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.

Пример 1
Найдите интеграл методом интегрирования по частям $ \int xe^xdx $
Решение

Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $

Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем

$$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C. $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Пример 2
Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям $ \int x\cos x dx $
Решение

В качестве неизвестных функций $ u $ и $ v $ возьмем следующие: $ u=x \rightarrow du=dx $ и $ dv = \cos x dx \rightarrow v = \sin x $.

Подставим функции $ u $ и $ v $ в первую формулу

$$ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. $$

Ответ

$$ \int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C $$

Пример 3
Вычислить интеграл интегрированием по частям $ \int \limits_1 ^e x\ln x dx $
Решение

В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу для определенного интеграла. Введём обозначения

$$ u = \ln x \rightarrow du = \frac{dx}{x}, \text{a за } dv = xdx \rightarrow v = \frac{x^2}{2}. $$

Осталось подставить это в формулу

$$ \int \limits_1 ^e x\ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x \bigg |_1 ^e - \int \limits_1 ^e \frac{x^2}{2}\frac{dx}{x} = \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{1}{2} \int \limits_1 ^e xdx = $$

$$ =\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \frac{x^2}{2}\bigg |_1 ^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4} .$$

Ответ

$$ \int \limits_0 ^1 x \ln x dx = \frac{e^2+1}{4} $$

Пример 4
Найти интеграл с помощью интегрирования по частям $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $
Решение

По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так

$$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac{3^x}{ln3} .$$

Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу

$$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac{3^x}{\ln 3} \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac{3^x dx}{\ln 3} = $$

$$ = \frac{18}{\ln 3} - \frac{5}{\ln 3} - \frac{3^x}{\ln^2 3}\bigg| _0 ^1 = \frac{13}{\ln 3} - \frac{3}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^2 3} = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3}. $$

Ответ
$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Добро пожаловать!

Благодарим за посещение нашего ресурса.